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ひし形の面積の公式

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ひし形の面積 \(=\) 対角線 \(\times\) 対角線 \(\div\) 2

それでは「ひし形の面積の公式」を使った「練習問題」を解いてみましょう。「公式の考察」についても合わせてみていきます。

  1. 練習問題①

    対角線が 8(cm)、4(cm)のひし形の面積を求めてください。

  2. 練習問題②

    対角線が 3.6(cm)、8.2(cm)のひし形の面積を求めてみましょう。

  3. 公式の考察

練習問題①

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対角線が 8(cm)、4(cm)のひし形の面積を求めてください。

ひし形の面積を求める公式は

\[ ひし形の面積 = 対角線 \times 対角線 \div 2 \]

なので、

\[ \begin{aligned} ひし形の面積 \: &= 8 \times 4 \div 2\\ &= 32 \div 2\\ &= 16 \:(cm^2) \end{aligned} \]

になります。

次は小数点を含むひし形の面積を計算します。

練習問題②

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対角線が 3.6(cm)、8.2(cm)のひし形の面積を求めてみましょう。

ひし形の面積を求める公式は

\[ ひし形の面積 = 対角線 \times 対角線 \div 2 \]

なので、

\[ \begin{aligned} ひし形の面積 \: &= 3.6 \times 8.2 \div 2 \\ &= 29.52 \div 2 \\ &= 14.76 \:(cm^2) \end{aligned} \]

になります。

公式の考察

なぜ? ひし形の面積の面積を求める公式が「\( 対角線 \times 対角線 \div 2 \)」となるのかを考えてみましょう。

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ひし形の辺と対角線で区切られた三角形ABC(赤色)と

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同じ形の三角形DAC(青色)を図のようにひし形にくっつけます。

三角形(赤色)と三角形(青色)は同じ形なので、

\[ 「三角形(赤色)」の面積 = 「三角形(青色)」の面積 \]

ですね。

同じように残り3つの角に青色の三角形をくっつけると……。

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このように長方形ができあがります。

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「ひし形」と「4つの三角形(青色)」を足し合わせた図形は長方形なので、

\[ \begin{aligned} 長方形の面積 \: &= 「ひし形」と「4つの三角形(青色)」の面積 \\ &= たて(対角線) \times よこ(対角線) \end{aligned} \]

になります。

前述したように

\[ 「三角形(赤色)」の面積 = 「三角形(青色)」の面積 \]

なので、

\[ ひし形の面積 = 「4つの三角形(青色)」の面積 \]

ですね。

よって、ひし形の面積は

\[ ひし形の面積 = 対角線 \times 対角線 \div 2 \]

となります。

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