等差数列の和の公式とその証明

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等差数列の和の公式とその証明を紹介します。

等差数列の和の公式

初項\(a\)、等差\(d\)、項数\(n\)の等差数列の和は

\[ S_n = \frac{ n \left\{ 2a + \left( n-1 \right) d \right\} }{ 2 } \]

で与えられる。

等差数列の和の公式の証明

初項\(a\)、等差\(d\)の等差数列の一般項\(a_n\)は

\[ a_n = a + ( n-1 )d \]

で表せる。

この数列の初項から\(n\)項までの和\(S_n\)は

\[ S_n = a + (a+d) + (a+2d) + \cdots + \left\{ a+(n-1)d \right\} \tag{1} \label{1} \]

です。この式の右辺を逆順に並び替えると

\[ S_n = \left\{ a+(n-1)d \right\} + \left\{ a+(n-2)d \right\} + \left\{ a+(n-2)d \right\} + \cdots + a \tag{2} \label{2} \]

になります。数式\((\ref{1})\)と\((\ref{2})\)を足すと

\[ 2 S_n = \underbrace{ \left\{ 2a+(n-1)d \right\} + \left\{ 2a+(n-1)d \right\} + \cdots + \left\{ 2a+(n-1)d \right\} }_{n個} \]

となり、右辺が\(n個\)の\(2a+(n-1)d \)となるので、等差数列の和は

\[ S_n = \frac{ n \left\{ 2a + \left( n-1 \right) d \right\} }{ 2 } \]

となります。以上、証明終了です。

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