2次方程式の解の公式とその証明

ここでは「2次方程式の解の公式」とその証明を解説します。

2次方程式の解の公式

2次方程式(\(a\neq0\))

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

の解は

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

で与えられます。

スポンサーリンク

2次方程式の解の公式の証明

それでは実際に2次方程式(\(a\neq0\))

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

の平方完成を行って、解の公式を導いてみましょう。

\( x^2 \)の係数\(a\)で \(x\)を含む項をくくります。

\[ a \left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c = 0 \]

\( ( x + )^2 \)の形式へ平方完成します。

\[ a \left\{ \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \right\} + c = 0 \]

第2項を計算し、

\[ a \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \]

\( x \)の項(第1項)以外を右辺に移項します。

\[ a \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a} - c \]

両辺を\( a \)で割り、右辺を通分します。

\[ \begin{aligned} \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 &= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}\\ &= \frac{b^2-4ac}{4a^2} \end{aligned} \]

両辺の平方根を取ります。

\[ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \]

左辺の第2項を右辺へ移項し、

\[ x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \]

右辺を通分すると

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

この通り、解の公式を導くことができます。

以上、証明終了です。

スポンサーリンク

関連記事(一部広告含む)