2次方程式の解の公式とその証明
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ここでは「2次方程式の解の公式」とその証明を解説します。
2次方程式の解の公式
2次方程式（\(a\neq0\)）
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]の解は
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]で与えられます。
2次方程式の解の公式の証明
それでは実際に2次方程式（\(a\neq0\)）
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]の平方完成を行って、解の公式を導いてみましょう。
\( x^2 \)の係数\(a\)で \(x\)を含む項をくくります。
\[ a \left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c = 0 \]\( ( x + )^2 \)の形式へ平方完成します。
\[ a \left\{ \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \right\} + c = 0 \]第2項を計算し、
\[ a \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \]\( x \)の項（第1項）以外を右辺に移項します。
\[ a \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a} - c \]両辺を\( a \)で割り、右辺を通分します。
\[ \begin{aligned} \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 &= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}\\ &= \frac{b^2-4ac}{4a^2} \end{aligned} \]両辺の平方根を取ります。
\[ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \]左辺の第2項を右辺へ移項し、
\[ x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \]右辺を通分すると
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]この通り、解の公式を導くことができます。
以上、証明終了です。