等比数列の和の公式とその証明
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等比数列の和の公式とその証明を紹介します。
等比数列の和の公式
初項\(a\)、公比\(r(\neq 0,1)\)、項数\(n\)の等比数列の和は
\[ S_n = \frac{ a ( 1 - r^n ) }{ 1-r } \]で与えられる。
等比数列の和の公式の証明
初項\(a\)、公比\(r(\neq 0,1)\)の公比数列の一般項\(a_n\)は
\[ a_n = a r^{n-1} \]で表せる。
この数列の初項から\(n\)項までの和\(S_n\)は
\[ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} \]です。この式の両辺に\(r\)を掛けると
\[ rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n \]になります。これらを引くと
\[ \begin{aligned} S_n - rS_n &= a - ar^n\\ S_n (1-r) &= a(1 - r^n) \end{aligned} \]となり
\[ S_n = \frac{ a ( 1 - r^n ) }{ 1-r } \]以上、証明終了です。