\(\sin x\) のマクローリン展開
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ここでは \(\sin x\) のマクローリン展開を導出します。
\(\sin x\) のマクローリン展開
\(\sin x\) のマクローリン展開を求めると
\begin{aligned} \sin x \: & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\ &= x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 + \cdots \qquad (-\infty < x < \infty) \end{aligned}になります。
導出
\(f(x)\) のマクローリン展開は
\[ \begin{aligned} f(x) \: &= \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} \frac{x^n}{n!}\\ &= f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \end{aligned} \]で与えられるので、まずは
\[ \Bigg(\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x)\Bigg)\Bigg|_{x=0} \]を求めましょう。
\begin{aligned} f(x) = \sin x \end{aligned}とおくと、
\begin{aligned} f^{\prime}(x) \: &= \cos x \\ f^{\prime\prime}(x) \: &= -\sin x \\ f^{\prime\prime\prime}(x) \: &= -\cos x \\ f^{(4)}(x) \: &= \sin x \\ f^{(5)}(x) \: &= \cos x \\ \vdots \end{aligned}なので、
\begin{aligned} f(0) \: &= 0 \\ f^{\prime}(0) \: &= 1 \\ f^{\prime\prime}(0) \: &= 0 \\ f^{\prime\prime\prime}(0) \: &= -1 \\ f^{(4)}(0) \: &= 0 \\ f^{(5)}(0) \: &= 1 \\ \vdots \end{aligned}となります。これらをマクローリン展開の公式に代入すると、
\begin{aligned} \sin x \: &= 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{(-1)}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 + \frac{0}{6!}x^6 + \frac{(-1)}{7!}x^7 + \cdots \\ &= x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 + \cdots \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \end{aligned}になります。
これで \(\sin x\) のマクローリン展開を導出することができましたね。次は収束半径を求めましょう。
収束半径
ダランベールの判定法を用いて、収束半径を求めます。
\begin{aligned} a_n = \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}, \quad a_{n+1} = \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+3)!} \end{aligned} \begin{aligned} L \: &= \lim_{n \rightarrow \infty} \Big| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Big | \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big| \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+3)!} \Bigg/\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \Big | \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big| \frac{(-1)^{n+1}}{(-1)^n} \frac{(2n+1)!}{(2n+3)!} \Big | \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big| -1 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+3)} \Big | \\ & = 0 \end{aligned}なので、収束半径 \(R=1/L\) は
\[ R = \infty \]になります。