log(1+x) のマクローリン展開
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ここでは log(1+x) のマクローリン展開を導出します。
log(1+x) のマクローリン展開
log(1+x) のマクローリン展開を求めると
log(1+x)=∞∑n=11n!xn=x+12x2+13x3+⋯(−1<x≤∞)になります。
導出
f(x) のマクローリン展開は
f(x)=∞∑n=0f(n)xnn!=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+⋯+f(n)(0)n!xn+⋯で与えられるので、まずは
(dndxnf(x))|x=0を求めましょう。
f(x)=log(1+x)とおくと、
f′(x)=11+xf′′(x)=−1(1+x)2f′′′(x)=(−2)⋅(−1)(1+x)3=2!(1+x)3f(4)(x)=(−3)⋅2!(1+x)4=−3!(1+x)4f(5)(x)=4⋅3!(1+x)5=4!(1+x)5⋮なので、
f(0)=log(1)=0f′(0)=1f′′(0)=−1f′′′(0)=2!f(4)(x)=−3!f(5)(x)=4!⋮となります。これらをマクローリン展開の公式に代入すると、
log(1+x)=0+1⋅x+(−1)2!x2+2!3!x3+(−3!)4!x4+⋯=x−12x2+13x3−14x4+⋯=∞∑n=1(−1)n+1nxnになります。これで log(1+x) のマクローリン展開を導出することができました。
収束半径
ダランベールの判定法を用いて、収束半径を求めます。
an=(−1)n+1n,an+1=(−1)n+2(n+1) L=limなので、収束半径 R=1/L は
R = 1になります。