等比数列の和の公式とその証明

等比数列の和の公式とその証明を紹介します。

等比数列の和の公式

初項\(a\)、公比\(r(\neq 0,1)\)、項数\(n\)の等比数列の和は

\[ S_n = \frac{ a ( 1 - r^n ) }{ 1-r } \]

で与えられる。

等比数列の和の公式の証明

初項\(a\)、公比\(r(\neq 0,1)\)の公比数列の一般項\(a_n\)は

\[ a_n = a r^{n-1} \]

で表せる。

この数列の初項から\(n\)項までの和\(S_n\)は

\[ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} \]

です。この式の両辺に\(r\)を掛けると

\[ rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n \]

になります。これらを引くと

\[ \begin{aligned} S_n - rS_n &= a - ar^n\\ S_n (1-r) &= a(1 - r^n) \end{aligned} \]

となり

\[ S_n = \frac{ a ( 1 - r^n ) }{ 1-r } \]

以上、証明終了です。

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