\(1/(1-x)\) のマクローリン展開

ここでは \(1/(1-x)\) のマクローリン展開を導出します。

\(1/(1-x)\) のマクローリン展開

\(1/(1-x)\) のマクローリン展開を求めると

\begin{aligned} \frac{1}{1-x} \: &= \sum_{n=0}^{\infty} x^n \\ &= x + x^2 + x^3 + \cdots \qquad (-1 < x < 1) \end{aligned}

になります。

導出

\(f(x)\) のマクローリン展開は

\[ \begin{aligned} f(x) \: &= \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} \frac{x^n}{n!}\\ &= f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \end{aligned} \]

で与えられるので、まずは

\[ \Bigg(\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x)\Bigg)\Bigg|_{x=0} \]

を求めましょう。

\begin{aligned} f(x) = \frac{1}{1-x} \end{aligned}

とおくと、

\begin{aligned} f^{\prime}(x) \: &= \frac{(-1)(-1)}{(1-x)^2} \\ &= \frac{1}{(1-x)^x} \\ f^{\prime\prime}(x) \: &= -\frac{(-2)(-1)}{(1-x)^3} \\ &= -\frac{2!}{(1-x)^3} \\ f^{\prime\prime\prime}(x) \: &= \frac{(-3)(2!)(-1)}{(1-x)^4} \\ &= \frac{3!}{(1-x)^4} \\ f^{(4)}(x) \: &= \frac{(-4)(3!)(-1)}{(1-x)^5} \\ &= \frac{4!}{(1-x)^5} \\ f^{(5)}(x) \: &= \frac{(-5)(4!)(-1)}{(1-x)^6} \\ &= \frac{5!}{(1-x)^6} \\ & \vdots \end{aligned}

なので、

\begin{aligned} f(0) \: &= 1 \\ f^{\prime}(0) \: &= 1 \\ f^{\prime\prime}(0) \: &= 2! \\ f^{\prime\prime\prime}(0) \: &= 3! \\ f^{(4)}(x) \: &= 4! \\ f^{(5)}(x) \: &= 5! \\ \vdots \end{aligned}

となります。これらをマクローリン展開の公式に代入すると、

\begin{aligned} \frac{1}{1-x} \: &= 1 + 1 \cdot x + \frac{2!}{2!}x^2 + \frac{3!}{3!}x^3 + \cdots \\ &= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} x^n \end{aligned}

になります。これで \(1/(1-x)\) のマクローリン展開を導出することができました。

収束半径

ダランベールの判定法を用いて、収束半径を求めます。

\begin{aligned} a_n = 1, \quad a_{n+1} = 1 \end{aligned} \begin{aligned} L \: &= \lim_{n \rightarrow \infty} \Big| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Big | \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big| \frac{1}{1} \Big | \\ & = 1 \end{aligned}

なので、収束半径 \(R=1/L\) は

\[ R = 1 \]

になります。

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