\((1+x)^\alpha\) のマクローリン展開

ここでは \((1+x)^\alpha\) のマクローリン展開を導出します。

\((1+x)^\alpha\) のマクローリン展開

\((1+x)^\alpha\) のマクローリン展開を求めると

\begin{aligned} (1+x)^\alpha \: &= \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n \\ &= 1 + \alpha \cdot x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots \\ & \quad \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots (\alpha -n+1)}{n!}x^n + \cdots \qquad (-1 < x < 1) \end{aligned}

になります。

導出

\(f(x)\) のマクローリン展開は

\[ \begin{aligned} f(x) \: &= \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} \frac{x^n}{n!}\\ &= f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \end{aligned} \]

で与えられるので、まずは

\[ \Bigg(\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x)\Bigg)\Bigg|_{x=0} \]

を求めましょう。

\begin{aligned} f(x) = (1+x)^\alpha \end{aligned}

とおくと、

\begin{aligned} f^{\prime}(x) \: &= \alpha (1+x)^{\alpha-1} \\ f^{\prime\prime}(x) \: &= \alpha (\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2} \\ f^{\prime\prime\prime}(x) \: &= \alpha (\alpha-1)(\alpha-2)(1+x)^{\alpha-3} \\ f^{(4)}(x) \: &= \alpha (\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)(1+x)^{\alpha-4} \\ & \vdots \end{aligned}

なので、

\begin{aligned} f(0) \: &= 1 \\ f^{\prime}(0) \: &= \alpha \\ f^{\prime\prime}(0) \: &= \alpha (\alpha-1) \\ f^{\prime\prime\prime}(x) \: &= \alpha (\alpha-1)(\alpha-2) \\ f^{(4)}(x) \: &= \alpha (\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3) \\ & \vdots \end{aligned}

となります。これらをマクローリン展開の公式に代入すると、

\begin{aligned} (1+x)^\alpha \: &= 1 + \alpha \cdot x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots \\ & \quad \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots (\alpha -n+1)}{n!}x^n + \cdots \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n \\ \end{aligned}

になります。これで \((1+x)^\alpha\) のマクローリン展開を導出することができました。

収束半径

ダランベールの判定法を用いて、収束半径を求めます。

\begin{aligned} a_n \: &= \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots (\alpha -n+1)}{n!} \\ a_{n+1} \: &= \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots (\alpha -n)}{(n+1)!} \\ L \: &= \lim_{n \rightarrow \infty} \Big| \frac{a_{n+1}}{a_n} \Big | \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big| \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots (\alpha -n)}{(n+1)!} \Bigg/\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots (\alpha -n+1)}{n!} \Big | \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big| \frac{n!(\alpha -n)}{(n+1)!} \Big | \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big| \frac{\alpha -n}{n+1} \Big | \\ & = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big| \frac{\alpha/n -1}{1+1/n} \Big | \\ & = 1 \end{aligned}

なので、収束半径 \(R=1/L\) は

\begin{aligned} R = 1 \end{aligned}

になります。

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